Zadania domowe, zestaw 2

W tym zestawie zadań proszę przygotować kod, który będzie generował rozwiązania zadań podanych w tekście.

Zadanie 1

Wyznacz minimalną liczbę kolorów, którymi można pokolorować graf Petersena. Wyznacz liczbę różnych kolorowań. Wykorzystaj do tego bazy Groebnera.

Zadanie 2

Wyznacz parametryzację wymierną zbioru par \((m,s)\) takich, że wielomiany \(x^2+mx+1\) i \(x^2+sx-1\) mają wspólny pierwiastek.

Wskazówka: zapisz odpowiednią kolejnosć zmiennych w bazie Groebnera, aby odczytać zależnosć między \(m\) i \(s\).

Zadanie 3

Udowodnij algebraicznie, że proste wyznaczone przez punkt na półkolu i dwa wierzchołki tego półkola są do siebie prostopadłe.

Zadanie 4

Wyznacz parametryzację wymierną krzywej \(2x^4 - 3x^2y + y^4 - 2y^3 + y^2=0\). Wskaż \(100\) różnych wymiernych par \((x,y)\) będących rozwiązaniami równania po lewej.

Zadanie 5

Udowodnij algebraicznie prawo równoległoboku.