Pierwsze kroki w obliczeniowej geometrii algebraicznej#
Niniejszy rozdział zawiera elementarne wprowadzenie do tematyki geometrii algebraicznej na poziomie obliczeń na rozmaitościach afinicznych. Zbiory algebraiczne będą definiowane za pomocą komendy subscheme, która pozwala wykonywać operacje geometryczne na układach równań.
Jednym z kluczowych narzędzi obliczeniowych do efektywnych manipulacji schematami i zbiorami algebraicznymi są bazy Groebnera. Poświęcony im jest osobny plik.
Aff.<x,y>=AffineSpace(Rationals(),2) #przestrzeń afiniczna (wymiaru 2)
S=Aff.subscheme([x^2-y^2])
#S nazywamy schematem
type(S)
<class 'sage.schemes.affine.affine_subscheme.AlgebraicScheme_subscheme_affine_field_with_category'>
S.irreducible_components() #składowe
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x - y,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x + y
]
def skl1(m,n):
return Aff.subscheme([x^n-y^m]).irreducible_components()
skl1(20,20)#rozklad tylko nad pierscieniem bazowym!!!
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x - y,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x + y,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x^2 + y^2,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x^4 - x^3*y + x^2*y^2 - x*y^3 + y^4,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x^4 + x^3*y + x^2*y^2 + x*y^3 + y^4,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x^8 - x^6*y^2 + x^4*y^4 - x^2*y^6 + y^8
]
def skl2(m,n,k):
Aff3.<x,y,z>=AffineSpace(Rationals(),3)
return Aff3.subscheme([x^n-y^m-z^k,x+y-z]).irreducible_components()
skl2(4,4,4)
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 3 over Rational Field defined by:
z,
x + y,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 3 over Rational Field defined by:
y,
x - z,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 3 over Rational Field defined by:
x + y - z,
2*y^2 - 3*y*z + 2*z^2
]
Aff3.<x,y,z>=AffineSpace(Rationals(),3)
S1=Aff3.subscheme([x^4-y^4-z^4]).irreducible_components()
S1
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 3 over Rational Field defined by:
x^4 - y^4 - z^4
]
R.<x>=PolynomialRing(Rationals(),1)
f=x^3+x+1
g=x^2+1
f.gcd(g)
1
I=R.ideal(f,g) #ideal zadany przez f i g
I.groebner_basis()
[1]
#przyklad dla dwoch zmiennych
R2.<x,y>=PolynomialRing(Rationals(),2)
eq1=[x^2+y^2-1,x+y+3]
I=R2.ideal(eq1)
I.groebner_basis()
[y^2 + 3*y + 4, x + y + 3]
R2.<x,y>=PolynomialRing(Rationals(),2)
eq1=[x^2+y^2-1,x*y-1]
I=R2.ideal(eq1)
I.groebner_basis()
[y^3 + x - y, x^2 + y^2 - 1, x*y - 1]
Aff=AffineSpace(R2)
S=Aff.subscheme(I) #schemat generowany przez rownania eq1
S
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x^2 + y^2 - 1,
x*y - 1
S.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x*y - 1,
x^2 + y^2 - 1,
y^3 + x - y
]
S.dimension()
0
S.rational_points()
[]
#x==y-y^3
pol=(y-y^3)^2 + y^2 - 1
pol.factor()
(y - 1) * (y + 1) * (y^4 - y^2 + 1)
Z.<T>=PolynomialRing(Rationals())
pol=T^4-T^2+1
K.<s>=NumberField(pol)
S.base_extend(K).irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Number Field in s with defining polynomial T^4 - T^2 + 1 defined by:
y + (-s^3 + s),
x + s,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Number Field in s with defining polynomial T^4 - T^2 + 1 defined by:
y + s,
x + (-s^3 + s),
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Number Field in s with defining polynomial T^4 - T^2 + 1 defined by:
y + (-s),
x + (s^3 - s),
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Number Field in s with defining polynomial T^4 - T^2 + 1 defined by:
y + (s^3 - s),
x + (-s)
]
Przykład generyczny#
Obliczenia na zbiorach algebraicznych związane z analizą składowych algebraicznych mogą okazać się niezwykle skomplikowane nawet dla relatywnie prosto zdefiniowanych układów. Poniższy przykład ilustruje skomplikowanie numeryczne obliczeń związanych z analizą składowych oraz użyciem baz Greobnera.
#radosny duzy przyklad
R4.<x,y,w,z>=PolynomialRing(Rationals(),4)
I=R4.ideal([x^4-2*x*z+1,x^5+w^3-12*z^2+1,16*x*(y+1)-z^2+2,w^3*z+x*z+w*y+17])
gro=I.groebner_basis()
for i in range(0,len(gro)):
print(gro[i])
y^2*w*z^2 + 375596979544937107/686145284797572*y^2*w*z - 763603476971322901/8431353259592564736*x*w^2*z + 9046775383075206289/269803304306962071552*y*w^2*z + 21956670462360815/228715094932524*y^2*z^2 + 13685538440348331073/59956289845991571456*y*w*z^2 - 3096320640411235813/69789121380734189174784*w^2*z^2 - 188293164711702652044317/4782697463043735552*y*z^3 + 42822529964927653511553617/418734728284405135048704*w*z^3 - 62801316177777413348913101/8723640172591773646848*z^4 + 51914150993641620182625217/628102092426607702573056*x^3 + 158814086463305/5489162278380576*y^3 + 889797347803996406538661/26170920517775320940544*x^2*w - 21449979634866120907607801/6542730129443830235136*y^2*w + 51763244116763425/344354217339148959744*x*w^2 + 33730388653158776085025/3877173410040788287488*y*w^2 + 1021984555529049400762325159/1256204184853215405146112*x^2*z + 27832525947028807154131/526959578724535296*y^2*z + 2779306866918083250469141/52341841035550641881088*x*w*z - 228941968057761057809831/3673111651617588903936*y*w*z - 1937100699312683687/269803304306962071552*w^2*z - 419138483589262328235329381/209367364142202567524352*x*z^2 + 96762804440344503167921/7494536230748946432*y*z^2 - 922987736998819574407681/414417875415493741903872*w*z^2 - 26306538391881722439972692273/628102092426607702573056*z^3 - 29932653963969940105907225/52341841035550641881088*x^2 + 14226295547758846329293/34076719424186615808*y^2 + 67868330955416046708004513/2512408369706430810292224*x*w - 724936157152185286616345195/209367364142202567524352*y*w - 870533029152481466597/104683682071101283762176*w^2 - 2321088216475879402329580319/2512408369706430810292224*x*z + 385337372442609588049513643/3271365064721915117568*y*z - 121378724555105414638199/23263040460244729724928*w*z + 6275003827164962130110771/479650318767932571648*z^2 - 10023027221529438300002057/25901117213468358868992*x - 2180039431260324968097783503/39256380776662981410816*y + 3004952350480373079801359521/20099266957651446482337792*w + 17419484368818267647128763531/314051046213303851286528*z - 4636868093709001612243678543/78512761553325962821632
y*w^2*z^2 - 4342921739491072/334378793761*y^2*w*z + 4984044757634377/2311226222476032*x*w^2*z - 990189170200135/1155613111238016*y*w^2*z + 4700189696/334378793761*y^2*z^2 + 2149196842762182997/36979619559616512*y*w*z^2 + 301681721744800645/298918591440233472*w^2*z^2 + 24038845646459618798221/28023617947521888*y*z^3 - 2189926234223557309867/896755774320700416*w*z^3 + 3214563891153427640233/18682411965014592*z^4 - 26008345157610977110079/10761069291848404992*x^3 - 3439009363288/3009409143849*y^3 - 91342029065360785141/112094471790087552*x^2*w + 16010181008134144701637/224188943580175104*y^2*w + 530000651833417/56047235895043776*x*w^2 - 30696456741759283249/149459295720116736*y*w^2 - 416265379332087875273953/21522138583696809984*x^2*z - 45407714762071347577/36112909726188*y^2*z - 268099300664431454755/224188943580175104*x*w*z + 41580829676616708829/24909882620019456*y*w*z + 125757347046179/1155613111238016*w^2*z + 82724976590271625283491/1793511548641400832*x*z^2 - 7248811654452883051/24075273150792*y*z^2 + 660939251350781632415/7100086955446370304*w*z^2 + 9854685821901330230577847/10761069291848404992*z^3 + 6185081301670828035833/448377887160350208*x^2 - 39899478119910975179/7005904486880472*y^2 - 27861833024814484570175/43044277167393619968*x*w + 67907849955346541637523/896755774320700416*y*w + 983238669800449541/448377887160350208*w^2 + 888773751553978804493689/43044277167393619968*x*z - 209035350318474675645971/74729647860058368*y*z + 18053139237224445455/74729647860058368*w*z - 11368725789240570414103/36979619559616512*z^2 + 4113111691752099572479/443755434715398144*x + 1641764286616298401021217/1345133661481050624*y - 1221963453610744347253823/344354217339148959744*w - 881256323705884500153575/672566830740525312*z + 3494007903440035436706985/2690267322962101248
y^2*z^3 - 2500461499594321/29275532151363072*y^2*w*z + 247794877117027973/17267411475645572579328*x*w^2*z - 12693658091851739/2158426434455696572416*y*w^2*z + 4797692825/5489162278380576*y^2*z^2 + 79168520158964152097/276278583610329161269248*y*w*z^2 + 5653649648567863897/3349877826275241080389632*w^2*z^2 + 93038961697299372606139/11019334954852766711808*y*z^3 - 218016043932863951148599/13399511305100964321558528*w*z^3 + 952724502911741585230145/837469456568810270097408*z^4 - 1123845379014713181411847/80397067830605785929351168*x^3 - 22483631848840775903/2810451086530854912*y^3 - 756533391678768427937/139578242761468378349568*x^2*w + 894886223707676655887297/1674938913137620540194816*y^2*w - 297582022042489747/22038669909705533423616*x*w^2 - 2275022682980196512353/1674938913137620540194816*y*w^2 - 20484249687038901485004089/160794135661211571858702336*x^2*z - 2772342566189286280309/269803304306962071552*y^2*z - 3184305944433677782087/418734728284405135048704*x*w*z + 1324544358345116935987/117539572851762844925952*y*w*z + 790695818219033/1438950956303797714944*w^2*z + 3982438705437862636652449/13399511305100964321558528*x*z^2 - 476603228797934261041/239825159383966285824*y*z^2 + 25791705676826764741351/53045488053183198963695616*w*z^2 + 630823748746950905808963527/80397067830605785929351168*z^3 + 99766811734966758291797/1116625942091747026796544*x^2 - 422061419080174629357173/17447280345183547293696*y^2 - 1228722652174639428752263/321588271322423143717404672*x*w + 209810551397289875337671/372208647363915675598848*y*w + 17454915767991192571/1674938913137620540194816*w^2 + 42791957129647810142672849/321588271322423143717404672*x*z - 1396240654773151556813167/62034774560652612599808*y*z + 10103922547282950530683/6699755652550482160779264*w*z - 62287968399764551958561/30697620401147684585472*z^2 + 241827044580303569721575/3315343003323949935230976*x - 152720828381960899317268427/10049633478825723241168896*y - 60045523089370786647320455/2572706170579385149739237376*w - 107896648199957195343299765/10049633478825723241168896*z + 29906127388866858013605629/20099266957651446482337792
y*w*z^3 + 13200166529494976/19059591244377*y^2*w*z - 163153619453268425/1405225543265427456*x*w^2*z + 134247503872306943/2810451086530854912*y*w^2*z - 50438534824/6353197081459*y^2*z^2 - 48985879277771692805/22483608692246839296*y*w*z^2 + 104562171502002733/726970014382647803904*w^2*z^2 - 43974017720704375265129/896755774320700416*y*z^3 + 572762963951499422227267/4361820086295886823424*w*z^3 - 832780772173083409012267/90871251797830975488*z^4 + 362943128628210954971693/3271365064721915117568*x^3 + 15369367642363/228715094932524*y^3 + 11830983924378964063523/272613755393492926464*x^2*w - 557006213136543179243561/136306877696746463232*y^2*w - 1754148702425215/3587023097282801664*x*w^2 + 3996881705705884007711/363485007191323901952*y*w^2 + 6758507444939763026651743/6542730129443830235136*x^2*z + 1473430902593688946265/21956649113522304*y^2*z + 36357419607420857471675/545227510786985852928*x*w*z - 1120931767056850492351/12753859901449961472*y*w*z - 11577600645784105/2810451086530854912*w^2*z - 5509749717350462686782181/2180910043147943411712*x*z^2 + 3776056591594051151093/234204257210904576*y*z^2 - 8696426178476429560061/2158426434455696572416*w*z^2 - 21340424224442411718495791/408920633090239389696*z^3 - 401501237598913799902145/545227510786985852928*x^2 + 772510241195412960835/4259589928023326976*y^2 + 450957641056521233729213/13085460258887660470272*x*w - 9419329036378845970544657/2180910043147943411712*y*w - 103153760447038290307/1090455021573971705856*w^2 - 15099024147215423372495599/13085460258887660470272*x*z + 754712260210087412389627/5048402877657276416*y*z - 8255856796854229977607/726970014382647803904*w*z + 740250251433658630724323/44967217384493678592*z^2 - 66548195425063721999161/134901652153481035776*x - 57178429299766308069588427/817841266180478779392*y + 19790111244677534278726589/104683682071101283762176*w + 229829191856699409025446869/3271365064721915117568*z - 121038660579170779634061083/1635682532360957558784
w^2*z^3 - 736078238401658880/6353197081459*y^2*w*z + 123315854131408/6353197081459*x*w^2*z - 97177342525158/6353197081459*y*w^2*z - 1985494646784/6353197081459*y^2*z^2 + 3572100179187136/19059591244377*y*w*z^2 - 84645374314355/2465040467606092*w^2*z^2 + 822110655892894642688/97304228984451*y*z^3 - 53566582876912809783/2465040467606092*w*z^3 + 940337536209994012912/616260116901523*z^4 - 95296761172513484560/5546341052113707*x^3 - 61718271098880/6353197081459*y^3 - 4436685141126162086/616260116901523*x^2*w + 433920671507818677632/616260116901523*y^2*w + 7889358882948/32434742994817*x*w^2 - 2279078659832500781/1232520233803046*y*w^2 - 957512670860204736160/5546341052113707*x^2*z - 71232311418528268288/6353197081459*y^2*z - 6998278301960045653/616260116901523*x*w*z + 449154238955099104/32434742994817*y*w*z - 43132220945126/6353197081459*w^2*z + 262877000709372225020/616260116901523*x*z^2 - 17133603757215846400/6353197081459*y*z^2 + 28174829540913751/57178773733131*w*z^2 + 49803778425574887737888/5546341052113707*z^3 + 225879741752060591936/1848780350704569*x^2 - 34296991154732302336/1848780350704569*y^2 - 31777528921382146228/5546341052113707*x*w + 1373716582576155417356/1848780350704569*y*w + 3870152078696307/1232520233803046*w^2 + 1091807163187770258716/5546341052113707*x*z - 46210361927991478934272/1848780350704569*y*z + 949374447379106064/616260116901523*w*z - 52481180804335798720/19059591244377*z^2 + 4690331816910410384/57178773733131*x + 66903911246420424205184/5546341052113707*y - 350719062327368342185/11092682104227414*w - 65281450903242252059716/5546341052113707*z + 70636711093551098525924/5546341052113707
y*z^4 + 16419358630771/76238364977508*y^2*w*z - 9986106509/457430189865048*x*w^2*z + 3749598205/457430189865048*y*w^2*z + 3672272/19059591244377*y^2*z^2 + 1233085383647/4879255358560512*y*w*z^2 + 6950654939/354965827335277248*w^2*z^2 - 974927439640489/583825373906706*y*z^3 + 17799673191911473/709931654670554496*w*z^3 + 96320090839397959/354965827335277248*z^4 - 17652087497255/4259589928023326976*x^3 + 114151040/19059591244377*y^3 - 86667503521411/14790242805636552*x^2*w - 12228564662656051/88741456833819312*y^2*w - 581662261/4670602991253648*x*w^2 + 372155221581313/177482913667638624*y*w^2 + 1602098294926283879/8519179856046653952*x^2*z + 727919706945356/57178773733131*y^2*z + 531905109739955/88741456833819312*x*w*z + 958206060557549/6227470655004864*y*w*z + 900385499/304953459910032*w^2*z - 200117734287511621/1419863309341108992*x*z^2 + 57342899804596/19059591244377*y*z^2 - 851857502124217/2810451086530854912*w*z^2 - 9076344353232976385/4259589928023326976*z^3 + 2259067664402525/22185364208454828*x^2 + 801945036924566/5546341052113707*y^2 + 30326083361543449/17038359712093307904*x*w - 124840521135259835/709931654670554496*y*w - 343021917757/177482913667638624*w^2 - 1660142673281955743/17038359712093307904*x*z + 2608075376136460487/88741456833819312*y*z - 709267111783835/354965827335277248*w*z + 44736090975402989/14637766075681536*z^2 - 7495511939204369/175653192908178432*x - 1090797161557180333/532448741002915872*y + 4866132909697857817/136306877696746463232*w + 33411765331721575625/2129794964011663488*z - 6039302064059564137/2129794964011663488
w*z^4 - 15461624139743232/6353197081459*y^2*w*z + 2556443266304/6353197081459*x*w^2*z - 959897140480/6353197081459*y*w^2*z - 22562439168/6353197081459*y^2*z^2 + 12869005680760/19059591244377*y*w*z^2 - 222420958048/616260116901523*w^2*z^2 + 17309856306880096256/97304228984451*y*z^3 - 279864690135371384/616260116901523*w*z^3 + 19556688747633614240/616260116901523*z^4 - 1902587590891968904/5546341052113707*x^3 - 701343989760/6353197081459*y^3 - 91201947222346240/616260116901523*x^2*w + 9137860593305889152/616260116901523*y^2*w + 74452769408/32434742994817*x*w^2 - 23817934181204032/616260116901523*y*w^2 - 20048503055295841276/5546341052113707*x^2*z - 1490779559824089088/6353197081459*y^2*z - 146965149010109184/616260116901523*x*w*z + 8170704554470192/32434742994817*y*w*z - 345748031616/6353197081459*w^2*z + 5495705813117718328/616260116901523*x*z^2 - 358820450210851840/6353197081459*y*z^2 + 3178185820355633/457430189865048*w*z^2 + 1048176215909768311256/5546341052113707*z^3 + 4654845448707400832/1848780350704569*x^2 + 121252570792742912/1848780350704569*y^2 - 657709310417236450/5546341052113707*x*w + 28907361201358703312/1848780350704569*y*w + 21953402736448/616260116901523*w^2 + 22914643696961747918/5546341052113707*x*z - 967108699832360631424/1848780350704569*y*z + 12836385706658352/616260116901523*w*z - 1099078971735507736/19059591244377*z^2 + 97247177221470866/57178773733131*x + 1413556022635202444096/5546341052113707*y - 14747533677383742017/22185364208454828*w - 1368077286733881961696/5546341052113707*z + 1488921623165943924848/5546341052113707
z^5 + 1/12*y*w*z^2 - 16/3*y*z^3 + 1/18*x^3 - 1/36*x^2*z - 1/1152*w*z^2 - 337/36*z^3 + 2/3*x^2 + 128/3*y^2 + 1/72*x*w - 1/3*y*w - 47/72*x*z + 32/3*y*z + 17/12*z^2 - 17/72*x + 764/9*y + 1/576*w + 98/9*z + 329/9
x^4 - 2*x*z + 1
y^4 - 4859340772521409506670498979/7100086955446370304*y^2*w*z + 158029502405013315924728436967/1395933896136399972728832*x*w^2*z - 68450635163520790112350979603/1395933896136399972728832*y*w^2*z - 301515321800131104905423111/3550043477723185152*y^2*z^2 + 46368781496441261968896151403747/22334942338182399563661312*y*w*z^2 - 97816869320855151570050897663/1083244703401846378837573632*w^2*z^2 + 825143811248863433864622664384321231/16925698490653849669337088*y*z^3 - 30841027561390760847181257694130749/240721045200410306408349696*w*z^3 + 1218153655785019604441445431633980819/135405587925230797354696704*z^4 - 229509687197649876245167399403576273/2166489406803692757675147264*x^3 - 2613524972961829502033503/75734260858094616576*y^3 - 5742410010677548346366761148370475/135405587925230797354696704*x^2*w + 550276213696656579513671506306025575/135405587925230797354696704*y^2*w + 875054353721438082574873171/8462849245326924834668544*x*w^2 - 5902119027796043402903142069886693/541622351700923189418786816*y*w^2 - 4406053257702278424036790176633867455/4332978813607385515350294528*x^2*z - 480004857160741743794331428424053/7270489042377083191296*y^2*z - 5959415718535323112620757513341877/90270391950153864903131136*x*w*z + 28356773829088042313494987652035597/361081567800615459612524544*y*w*z + 2484610597888294228432962881/1395933896136399972728832*w^2*z + 450022553041246139001123378891558299/180540783900307729806262272*x*z^2 - 622501840541919208784781478602241/38775941559344443686912*y*z^2 + 1854245132611644084227734573184699/476478769881224524024774656*w*z^2 + 112383313982023997441664306628684085617/2166489406803692757675147264*z^3 + 24245438497194509234075321105859409/33851396981307699338674176*x^2 - 183567121625476645612950261871045/470158291407051379703808*y^2 - 97521513876111968398928425763261531/2888652542404923676900196352*x*w + 4654506760716810937690303765182512861/1083244703401846378837573632*y*w + 592201807883020359227515516019/60180261300102576602087424*w^2 + 9928632438105565661497781087959269511/8665957627214771030700589056*x*z - 19928077745612478660620135489608992607/135405587925230797354696704*y*z + 8341603137977400927802014070398695/1083244703401846378837573632*w*z - 10114529702105698704326566337333495/620415064949511098990592*z^2 + 14401907577863015879105105449451243/29779923117576532751548416*x + 6233524168791674855912407785365949523/90270391950153864903131136*y - 12705527041789795100330980200488822033/69327661017718168245604712448*w - 37511975469357735454200865420422740893/541622351700923189418786816*z + 13235377236749558747602196361727567531/180540783900307729806262272
x^3*w - 6624*y*z^3 - 47/64*w*z^3 + 23*z^4 - 17*x^3 + 1/8*x^2*w - 552*y^2*w - 1/32*y*w^2 + 91/16*x*w*z + 2*y*w*z - 537/4*x*z^2 - 6762*z^3 - 2231/4*y*w - 437/4*x*z + 560*y*z + 3/4*w*z - 9384*y - 17/32*w + 2959/4*z - 37927/4
y^3*w + 4267020300932303/7318883037840768*y^2*w*z - 421004089301590013/4316852868911393144832*x*w^2*z + 171874692339912073/4316852868911393144832*y*w^2*z - 2159745985/406604613213376*y^2*z^2 - 138806498568024862553/69069645902582290317312*y*w*z^2 - 22718249729529293713/1116625942091747026796544*w^2*z^2 - 124555810020747306359135/2754833738713191677952*y*z^3 + 742332415939514946431495/6699755652550482160779264*w*z^3 - 1076996756648946078694487/139578242761468378349568*z^4 + 1919760151989677064037729/20099266957651446482337792*x^3 + 67450864983123040423/702612771632713728*y^3 + 15301981028862673898881/418734728284405135048704*x^2*w - 731219201836032933128945/418734728284405135048704*y^2*w + 111808953120805223/688708434678297919488*x*w^2 + 5151988155418007899237/558312971045873513398272*y*w^2 + 34943071987068721736812079/40198533915302892964675584*x^2*z + 5360977385431765407917/67450826076740517888*y^2*z + 40275076658618915443693/837469456568810270097408*x*w*z - 161508711607753795887/2176658756514126757888*y*w*z - 16356379833538907/4316852868911393144832*w^2*z - 3232981206443558269606399/1674938913137620540194816*x*z^2 + 4877875963070889374845/359737739075949428736*y*z^2 - 42756894316352214039745/13261372013295799740923904*w*z^2 - 964897508993146886498554229/20099266957651446482337792*z^3 - 123211715453221052910607/209367364142202567524352*x^2 + 4019539410045180898823575/13085460258887660470272*y^2 + 1888299742895379685760929/80397067830605785929351168*x*w - 9879982772742213556586467/3349877826275241080389632*y*w - 106440110475268757057/1674938913137620540194816*w^2 - 68306172130790355692755895/80397067830605785929351168*x*z + 24062146998542907457423631/139578242761468378349568*y*z - 12044953356587401904879/1116625942091747026796544*w*z + 119262201874346721502483/8633705737822786289664*z^2 - 460762029651998913748433/828835750830987483807744*x + 658171674515896707985996535/2512408369706430810292224*y + 101932844948512099256739745/643176542644846287434809344*w + 415941245385389335788709993/5024816739412861620584448*z + 238076947309258682296295743/5024816739412861620584448
x^2*w^2 - 923083930539687936/6353197081459*y^2*w*z + 914974336491827/38119182488754*x*w^2*z - 1620196559176799/76238364977508*y*w^2*z - 2970199621632/6353197081459*y^2*z^2 - 29166533563786193/152476729955016*y*w*z^2 - 1068505569613269/19720323740848736*w^2*z^2 + 1079314345174262222032/97304228984451*y*z^3 - 1600553174498079945839/59160971222546208*w*z^3 + 1171541015862671561690/616260116901523*z^4 - 1120101127764964585489/59160971222546208*x^3 - 32349260419072/6353197081459*y^3 - 66460836309752027867/7395121402818276*x^2*w + 1709989718438940955774/1848780350704569*y^2*w + 142164051248525/194608457968902*x*w^2 - 22725864624311633367/9860161870424368*y*w^2 - 8508998373237376081221/39440647481697472*x^2*z - 266742543432950571904/19059591244377*y^2*z - 216532409330819109581/14790242805636552*x*w*z + 500344599145798900/32434742994817*y*w*z - 806888622365735/76238364977508*w^2*z + 1004461711312298375048/1848780350704569*x*z^2 - 21426191375003673841/6353197081459*y*z^2 + 7124542508807693425/39034042868484096*w*z^2 + 695846572931275705525799/59160971222546208*z^3 + 94164446063748912125/616260116901523*x^2 + 39476695428886002112/1848780350704569*y^2 - 1689752121382542617617/236643884890184832*x*w + 599820570678282816645/616260116901523*y*w + 64820933964185083/29580485611273104*w^2 + 60120407301106330582727/236643884890184832*x*z - 57738944032909352265358/1848780350704569*y*z + 502762869423793316/616260116901523*w*z - 4200213263714671256057/1219813839640128*z^2 + 249246531542252857121/2439627679280256*x + 19616276402949383658143/1232520233803046*y - 75209472479321629840913/1893151079121478656*w - 145362000807128665599121/9860161870424368*z + 329594335002625813408915/19720323740848736
y^2*w^2 - 53207270731193280/6353197081459*y^2*w*z + 163153619453268425/117102128605452288*x*w^2*z - 134247503872306943/234204257210904576*y*w^2*z + 605262417888/6353197081459*y^2*z^2 + 48985879277771692805/1873634057687236608*y*w*z^2 - 104562171502002733/60580834531887316992*w^2*z^2 + 44146194829373949745001/74729647860058368*y*z^3 - 572672092699701591251779/363485007191323901952*w*z^3 + 837021430590315521201707/7572604316485914624*z^4 - 364397068656976250579501/272613755393492926464*x^3 - 15369367642363/19059591244377*y^3 - 11830983924378964063523/22717812949457743872*x^2*w + 559187123179691122655273/11358906474728871936*y^2*w + 1754148702425215/298918591440233472*x*w^2 - 3996881705705884007711/30290417265943658496*y*w^2 - 6809395345946548372925023/545227510786985852928*x^2*z - 1484672706939812365913/1829720759460192*y^2*z - 36539162111016519422651/45435625898915487744*x*w*z + 1101800977204675550143/1062821658454163456*y*w*z + 11577600645784105/234204257210904576*w^2*z + 5535193667853855359918821/181742503595661950976*x*z^2 - 3804785647145255445749/19517021434242048*y*z^2 + 8711415250937927452925/179868869537974714368*w*z^2 + 21427342576787037046550063/34076719424186615808*z^3 + 401501237598913799902145/45435625898915487744*x^2 - 772510241195412960835/354965827335277248*y^2 - 452411581085286529337021/1090455021573971705856*x*w + 9460766327198656895367185/181742503595661950976*y*w + 103153760447038290307/90871251797830975488*w^2 + 15176082968739984039709423/1090455021573971705856*x*z - 2281260963191275718771953/1262100719414319104*y*z + 8225566379588286319111/60580834531887316992*w*z - 745882395411066463967971/3747268115374473216*z^2 + 66803009656909186177849/11241804346123419648*x + 57403790004224928888798667/68153438848373231616*y - 19791565184706299574334397/8723640172591773646848*w - 231650615227735133098128341/272613755393492926464*z + 121533409109584070380105499/136306877696746463232
x^3*z - 288*y*z^3 - 1/64*w*z^3 + z^4 - 24*y^2*w + 1/4*x*w*z - 23/4*x*z^2 - 294*z^3 - 97/4*y*w - 19/4*x*z + 16*y*z + 1/32*w*z - 2*z^2 - 408*y + 89/4*z - 1649/4
y^3*z + 8696396667928141114487/117102128605452288*y^2*w*z - 1696881036085669366279735/138139291805164580634624*x*w^2*z + 1470041981084567910306049/276278583610329161269248*y*w^2*z + 2158492844452967211775/234204257210904576*y^2*z^2 - 497890457205060310622987515/2210228668882633290153984*y*w*z^2 + 233409825704209955465713/23821353431290603238326272*w^2*z^2 - 466326396994543576958800717975/88154679638822133694464*y*z^3 + 5960938098154772263707249714365/428784361763230858289872896*w*z^3 - 8720151453405047098281048386005/8933007536733976214372352*z^4 + 3696611484800829626315467314643/321588271322423143717404672*x^3 + 84194488144345833221/22483608692246839296*y^3 + 123321067984619108446278519517/26799022610201928643117056*x^2*w - 5908737391459373744917479063511/13399511305100964321558528*y^2*w - 3957695022619554213761/352618718555288534777856*x*w^2 + 1564826605964285075707564211/1323408523960589068795904*y*w^2 + 70966650480781625045360306165153/643176542644846287434809344*x^2*z + 15462523935655138326370859431/2158426434455696572416*y^2*z + 383944669471577428448323317061/53598045220403857286234112*x*w*z - 10683792262979754557335921729/1253755443752137012543488*y*w*z - 53327117357518519147991/276278583610329161269248*w^2*z - 57986785691963716365014926400795/214392180881615429144936448*x*z^2 + 40105638466077769601707268875/23023215300860763439104*y*z^2 - 89596318630196802011732326147/212181952212732795854782464*w*z^2 - 226264821093624999055918148448721/40198533915302892964675584*z^3 - 4165460809206432355471519525951/53598045220403857286234112*x^2 + 17740062494698760482338556349/418734728284405135048704*y^2 + 4712226314237044569105577933123/1286353085289692574869618688*x*w - 99958003319776547283201692682223/214392180881615429144936448*y*w - 114460587414149520325019261/107196090440807714572468224*w^2 - 159916941425384289314880002782481/1286353085289692574869618688*x*z + 71327593356692313304845425897773/4466503768366988107186176*y*z - 19904581726478392822851594067/23821353431290603238326272*w*z + 7819727726322440892408057636125/4420457337765266580307968*z^2 - 695898242462898619160497743047/13261372013295799740923904*x - 602407050310196257120398294041141/80397067830605785929351168*y + 204643269941343065397770193718339/10290824682317540598956949504*w + 2416766165638845192647183400520747/321588271322423143717404672*z - 1279065310152650486063620445221093/160794135661211571858702336
x^2*w*z + 1/3104*w^2*z^2 - 13248/97*y*z^3 - 111/3104*w*z^3 + 46/97*z^4 - 418/97*x^3 + 1/388*x^2*w + 1968/97*y^2*w - 1/194*x*w^2 - 1/1552*y*w^2 - 1632/97*x^2*z + 183/776*x*w*z + 4/97*y*w*z + 999/194*x*z^2 - 40788/97*z^3 + 4608/97*x^2 + 294912/97*y^2 + 17/194*x*w - 567/194*y*w - 1/1552*w^2 - 9461/194*x*z + 71776/97*y*z + 11/194*w*z + 626352/97*y + 239/1552*w + 148783/194*z + 585785/194
x^2*z^2 - 6*z^3 - 1/2*y*w - x*z + 1/2*z - 17/2
x*w*z^2 + 9216*y*z^3 + 1/2*w*z^3 + 1120*z^4 - 64/3*x^3 - 16*x^2*w + 768*y^2*w - 16/3*x^2*z - 8*x*w*z + 96*y*w*z + 376*x*z^2 + 1/3*w*z^2 + 28160/3*z^3 + 272*x^2 - 22/3*x*w + 776*y*w + 440/3*x*z - 512*y*z - w*z + 272/3*x + 39680/3*y - 2/3*w + 2888/3*z + 40088/3
x*z^3 - 1/3*x^3 + 1/6*x^2*z + 1/192*w*z^2 - 1/3*z^3 - 1/12*x*w - 1/12*x*z + 17/12*x + 8/3*y - 1/96*w + 2/3*z + 8/3
w^3 + 2*x^2*z - 12*z^2 - x + 1
x*y - 1/16*z^2 + x + 1/8
Aff4=AffineSpace(R4)
S4=Aff4.subscheme(I)
S4
Closed subscheme of Affine Space of dimension 4 over Rational Field defined by:
x^4 - 2*x*z + 1,
x^5 + w^3 - 12*z^2 + 1,
16*x*y - z^2 + 16*x + 2,
w^3*z + y*w + x*z + 17
S4.dimension() #grobner basis dziala
0
S4.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 4 over Rational Field defined by:
16*x*y - z^2 + 16*x + 2,
w^3 + 2*x^2*z - 12*z^2 - x + 1,
192*x*z^3 - 64*x^3 + 32*x^2*z + w*z^2 - 64*z^3 - 16*x*w - 16*x*z + 272*x + 512*y - 2*w + 128*z + 512,
6*x*w*z^2 + 55296*y*z^3 + 3*w*z^3 + 6720*z^4 - 128*x^3 - 96*x^2*w + 4608*y^2*w - 32*x^2*z - 48*x*w*z + 576*y*w*z + 2256*x*z^2 + 2*w*z^2 + 56320*z^3 + 1632*x^2 - 44*x*w + 4656*y*w + 880*x*z - 3072*y*z - 6*w*z + 544*x + 79360*y - 4*w + 5776*z + 80176,
2*x^2*z^2 - 12*z^3 - y*w - 2*x*z + z - 17,
3104*x^2*w*z + w^2*z^2 - 423936*y*z^3 - 111*w*z^3 + 1472*z^4 - 13376*x^3 + 8*x^2*w + 62976*y^2*w - 16*x*w^2 - 2*y*w^2 - 52224*x^2*z + 732*x*w*z + 128*y*w*z + 15984*x*z^2 - 1305216*z^3 + 147456*x^2 + 9437184*y^2 + 272*x*w - 9072*y*w - 2*w^2 - 151376*x*z + 2296832*y*z + 176*w*z + 20043264*y + 478*w + 2380528*z + 9372560,
20581649364635081197913899008*y^3*z + 1528462284047194050837456346939392*y^2*w*z - 252821699328476050220750277120*x*w^2*z + 109512247422875971046159426304*y*w^2*z + 189686316592439519959516918579200*y^2*z^2 - 4636355937493521612521259739680*y*w*z^2 + 201666089408437401522376032*w^2*z^2 - 108874156559110077999725121227059200*y*z^3 + 286125028711429068657947986289520*w*z^3 - 20091228948645228514439535481355520*z^4 + 236583135027253096084189908137152*x^3 + 77072211011188988210769297408*y^3 + 94710580212187475286741902989056*x^2*w - 9075820633281598072193247841552896*y^2*w - 231002743080258140348802048*x*w^2 + 24336183375956561497404038609472*y*w^2 + 2270932815385012001451529797284896*x^2*z + 147442711438152343649449413653987328*y^2*z + 147434753077085732524156153751424*x*w*z - 175385133789075650813226491103264*y*w*z - 3972656934665699602448737536*w^2*z - 5566731426428516771041432934476320*x*z^2 + 35852515718027154290985416425344000*y*z^2 - 8690842907129089795138035636259*w*z^2 - 115847588399935999516630092005745152*z^3 - 1599536950735270024501063497965184*x^2 + 871959551739433475227904721666048*y^2 + 75395621027792713105689246929968*x*w - 9595968318698548539187362497493408*y*w - 21976432783516707902403698112*w^2 - 2558671062806148629038080044519696*x*z + 328677550187638179708727722536937984*y*z - 17197558611677331398943777273888*w*z + 36408652293757284795051916353798000*z^2 - 1080034072302418656937092497208944*x - 154216204879410241822821963274532096*y + 409286539882686130795540387436678*w + 154673034600886092329419737633327808*z - 163720359699539262216143416988299904,
64*x^3*z - 18432*y*z^3 - w*z^3 + 64*z^4 - 1536*y^2*w + 16*x*w*z - 368*x*z^2 - 18816*z^3 - 1552*y*w - 304*x*z + 1024*y*z + 2*w*z - 128*z^2 - 26112*y + 1424*z - 26384,
17447280345183547293696*y^2*w^2 - 146118899972172887170744320*y^2*w*z + 24308584069581369177600*x*w^2*z - 10000902048471378025728*y*w^2*z + 1662184086515138691072*y^2*z^2 + 456156507834610003400160*y*w*z^2 - 30113905392576787104*w^2*z^2 + 10306900399203594794864873472*y*z^3 - 27488260449585676380085392*w*z^3 + 1928497376080086960848732928*z^4 - 23321412394046480037088064*x^3 - 14069224389248705101824*y^3 - 9086195653923044400785664*x^2*w + 858911421204005564398499328*y^2*w + 102386151463154949120*x*w^2 - 2302203862486589188441536*y*w^2 - 217900651070289547933600736*x^2*z - 14157078780952097537415020544*y^2*z - 14031038250630343458297984*x*w*z + 18087164841791953831147488*y*w*z + 862484937708332686080*w^2*z + 531378592113970114552206816*x*z^2 - 3401295738836795396238210048*y*z^2 + 845007279340978962933725*w*z^2 + 10970799399314962967833632256*z^3 + 154176475237982899162423680*x^2 - 37970423375236937850961920*y^2 - 7238585297364584469392336*x*w + 908233567411071061955249760*y*w + 19805522005831351738944*w^2 + 242817327499839744635350768*x*z - 31536151555156195536303478272*y*z + 2368963117321426459903968*w*z - 3472828433033925456234872976*z^2 + 103678270987523056948021648*x + 14695370241081581795532458752*y - 39583130369412599148668794*w - 14825639374575048518280213824*z + 15556276366026761008653503872,
3786302158242957312*x^2*w^2 - 550128483915876739842048*y^2*w*z + 90882570895060192256*x*w^2*z - 80465441914956545536*y*w^2*z - 1770143928104779776*y^2*z^2 - 724263361455938744576*y*w*z^2 - 205153069365747648*w^2*z^2 + 41998279799420891583709184*y*z^3 - 102435403167877116533696*w*z^3 + 7197948001460254075023360*z^4 - 71686472176957733471296*x^3 - 19279124033433501696*y^3 - 34027948190593038267904*x^2*w + 3502058943362951077425152*y^2*w + 2765943781091302400*x*w^2 - 8726732015735667212928*y*w^2 - 816863843830788103797216*x^2*z - 52990006708216228812161024*y^2*z - 55432296788689692052736*x*w*z + 58408227125883980390400*y*w*z - 40073316541171863040*w^2*z + 2057137584767587072098304*x*z^2 - 12769324421378189491673088*y*z^2 + 691080623354346262225*w*z^2 + 44534180667601645153651136*z^3 + 578546356615673316096000*x^2 + 80848272238358532325376*y^2 - 27036033942120681881872*x*w + 3685297586247369625466880*y*w + 8297079547415690624*w^2 + 961926516817701289323632*x*z - 118249357379398353439453184*y*z + 3088975069739786133504*w*z - 13037461970570339578800928*z^2 + 386830616953576434251792*x + 60261201109860506597815296*y - 150418944958643259681826*w - 55819008309937407590062464*z + 63282112320504156174511680,
1286353085289692574869618688*y^3*w + 749963443973462582517301248*y^2*w*z - 125452482546444998433792*x*w^2*z + 51215908322216359160832*y*w^2*z - 6832671890490450247680*y^2*z^2 - 2585132229330895040187072*y*w*z^2 - 26171423688417746357376*w^2*z^2 - 58160588154327830220559933440*y*z^3 + 142527823860386869714847040*w*z^3 - 9925602109276687061248392192*z^4 + 122864649727339332098414656*x^3 + 123489967418148471259590033408*y^3 + 47007685720666134217362432*x^2*w - 2246305388040293170572119040*y^2*w + 208834079224165096194048*x*w^2 + 11870180710083090199842048*y*w^2 + 1118178303586199095577986528*x^2*z + 102239071054111947732015316992*y^2*z + 61862517747638654121512448*x*w*z - 95447772351103907278115712*y*w*z - 4873939488317257663488*w^2*z - 2482929566548652751057714432*x*z^2 + 17442347891756590793685749760*y*z^2 - 4147418748686164761855265*w*z^2 - 61753440575561400735907470656*z^3 - 757012779744590149082769408*x^2 + 395136802165081463077952716800*y^2 + 30212795886326074972174864*x*w - 3793913384733010005729203328*y*w - 81746004845006405419776*w^2 - 1092898754092645691084094320*x*z + 221756746738571435127616183296*y*z - 13875786266788686994420608*w*z + 17769113981662666730097947136*z^2 - 715102670019902314137568016*x + 336983897352139114488830225920*y + 203865689897024198513479490*w + 106480958818659669961909758208*z + 60947698511170222667851710208,
64*x^3*w - 423936*y*z^3 - 47*w*z^3 + 1472*z^4 - 1088*x^3 + 8*x^2*w - 35328*y^2*w - 2*y*w^2 + 364*x*w*z + 128*y*w*z - 8592*x*z^2 - 432768*z^3 - 35696*y*w - 6992*x*z + 35840*y*z + 48*w*z - 600576*y - 34*w + 47344*z - 606832,
138655322035436336491209424896*y^4 - 94896508158543114432394164159010308096*y^2*w*z + 15696754414885162644171426187058176*x*w^2*z - 6799064689522193040279598102006784*y*w^2*z - 11776392121717917897737843547599536128*y^2*z^2 + 287857395529907354302907307914461376*y*w*z^2 - 12520559273069459400966514900864*w^2*z^2 + 6759578101750689250218988866636359524352*y*z^3 - 17764431875361078247976404431819311424*w*z^3 + 1247389343523860074948040121993196358656*z^4 - 14688619980649592079690713561828881472*x^3 - 4784877315336547137539797143257088*y^3 - 5880227850933809506679563415931366400*x^2*w + 563482842825376337421999622457370188800*y^2*w + 14336890531372041544906722033664*x*w^2 - 1510942471115787111143204369890993408*y*w^2 - 140993704246472909569177285652283758560*x^2*z - 9154161110795933938099843607520832585728*y^2*z - 9153662543670256300985483540493123072*x*w*z + 10889001150369808248382075258381669248*y*w*z + 246791401467048489121789337043968*w^2*z + 345617320735677034752862754988716773632*x*z^2 - 2225947061424519042126291889437722185728*y*z^2 + 539585333589988428510270760796747409*w*z^2 + 7192532094849535836266515624235781479488*z^3 + 99309316084508709822772515249600139264*x^2 - 54136146972812568511006387628913623040*y^2 - 4681032666053374483148564436636553488*x*w + 595776865371751800024358881943361646208*y*w + 1364432965362478907660195748907776*w^2 + 158858119009689050583964497407348312176*x*z - 20406351611507178148475018741359608429568*y*z + 1067725201661107318758657801011032960*w*z - 2260476014064198392032535657597988130560*z^2 + 67055281682530201933113370972644987408*x + 9574693123264012578681458358322098467328*y - 25411054083579590200661960400977644066*w - 9603065720155580276275421547628221668608*z + 10164769717823661118158486805806771863808,
x^4 - 2*x*z + 1,
1152*z^5 + 96*y*w*z^2 - 6144*y*z^3 + 64*x^3 - 32*x^2*z - w*z^2 - 10784*z^3 + 768*x^2 + 49152*y^2 + 16*x*w - 384*y*w - 752*x*z + 12288*y*z + 1632*z^2 - 272*x + 97792*y + 2*w + 12544*z + 42112,
44370728416909656*w*z^4 - 107983982991966732288*y^2*w*z + 17854199771867136*x*w^2*z - 6703921629112320*y*w^2*z - 157576075149312*y^2*z^2 + 29959045224809280*y*w*z^2 - 16014308979456*w^2*z^2 + 7893294475937323892736*y*z^3 - 20150257689746739648*w*z^3 + 1408081589829620225280*z^4 - 15220700727135751232*x^3 - 4898186424483840*y^3 - 6566540200008929280*x^2*w + 657925962718024018944*y^2*w + 101851388550144*x*w^2 - 1714891261046690304*y*w^2 - 160388024442366730208*x^2*z - 10411604445811438190592*y^2*z - 10581490728727861248*x*w*z + 11177523830515222656*y*w*z - 2414704252806144*w^2*z + 395690818544475719616*x*z^2 - 2506002024272589250560*y*z^2 + 308284024574496401*w*z^2 + 8385409727278146490048*z^3 + 111716290768977619968*x^2 + 2910061699025829888*y^2 - 5261674483337891600*x*w + 693776668832608879488*y*w + 1580644997024256*w^2 + 183317149575693983344*x*z - 23210608795976655154176*y*z + 924219770879401344*w*z - 2558655846200262009408*z^2 + 75463809523861392016*x + 11308448181081619552768*y - 29495067354767484034*w - 10944618293871055693568*z + 11911372985327551398784,
272613755393492926464*y*z^4 + 58712473946779987968*y^2*w*z - 5951399923955712*x*w^2*z + 2234640543037440*y*w^2*z + 52525358383104*y^2*z^2 + 68894946555125184*y*w*z^2 + 5338102993152*w^2*z^2 - 455236518375488495616*y*z^3 + 6835074505694005632*w*z^3 + 73973829764657632512*z^4 - 1129733599824320*x^3 + 1632728808161280*y^3 - 1597455424906647552*x^2*w - 37566150643679388672*y^2*w - 33950462850048*x*w^2 + 571630420348896768*y*w^2 + 51267145437641084128*x^2*z + 3470534815270479396864*y^2*z + 1634012497121141760*x*w*z + 41946428506967265024*y*w*z + 804901417602048*w^2*z - 38422604983202231232*x*z^2 + 820188799457891254272*y*z^2 - 82630177706049049*w*z^2 - 580886038606910488640*z^3 + 27759423460178227200*x^2 + 39417202454916268032*y^2 + 485217333784695184*x*w - 47938760115939776640*y*w - 526881665674752*w^2 - 26562282772511291888*x*z + 8012007555491206616064*y*z - 544717141849985280*w*z + 833164958325905267136*z^2 - 11633034529645180688*x - 558488146717276330496*y + 9732265819395715634*w + 4276705962460361680000*z - 773030664199624209536,
22185364208454828*w^2*z^3 - 2570385208498592808960*y^2*w*z + 430618962626876736*x*w^2*z - 339343280097851736*y*w^2*z - 6933347306569728*y^2*z^2 + 4157924608573826304*y*w*z^2 - 761808368829195*w^2*z^2 + 187441229543579978532864*y*z^3 - 482099245892215288047*w*z^3 + 33852151303559784464832*z^4 - 381187044690053938240*x^3 - 215520202677288960*y^3 - 159720665080541835096*x^2*w + 15621144174281472394752*y^2*w + 5396321475936432*x*w^2 - 41023415876985014058*y*w^2 - 3830050683440818944640*x^2*z - 248743231473500712861696*y^2*z - 251938018870561643508*x*w*z + 307221499445287787136*y*w*z - 150617715540379992*w^2*z + 9463572025537400100720*x*z^2 - 59830544320197735628800*y*z^2 + 10931833861874535388*w*z^2 + 199215113702299550951552*z^3 + 2710556901024727103232*x^2 - 411563893856787628032*y^2 - 127110115685528584912*x*w + 16484598990913865008272*y*w + 69662737416533526*w^2 + 4367228652751081034864*x*z - 554524343135897747211264*y*z + 34177480105647818304*w*z - 61088094456246869710080*z^2 + 1819848744961239228992*x + 267615644985681696820736*y - 701438124654736684370*w - 261125803612969008238864*z + 282546844374204394103696,
209367364142202567524352*y*w*z^3 + 145002274030081140143947776*y^2*w*z - 24308584069581369177600*x*w^2*z + 10000902048471378025728*y*w^2*z - 1662184086515138691072*y^2*z^2 - 456156507834610003400160*y*w*z^2 + 30113905392576787104*w^2*z^2 - 10266701865288291901900197888*y*z^3 + 27492622269671972266908816*w*z^3 - 1918726899086784174364263168*z^4 + 23228360232205501118188352*x^3 + 14069224389248705101824*y^3 + 9086195653923044400785664*x^2*w - 855561543377730323318109696*y^2*w - 102386151463154949120*x*w^2 + 2302203862486589188441536*y*w^2 + 216272238238072416852855776*x^2*z + 14049882690511289822842552320*y^2*z + 13961249129249609269123200*x*w*z - 18401215888005257682434016*y*w*z - 862484937708332686080*w^2*z - 528935972865644417931089376*x*z^2 + 3375613342168685214621889536*y*z^2 - 843553339312213667325917*w*z^2 - 10926297202914514799869844992*z^3 - 154176475237982899162423680*x^2 + 37970423375236937850961920*y^2 + 7215322256904339739667408*x*w - 904255587492369213172287072*y*w - 19805522005831351738944*w^2 - 241584386355446773959929584*x*z + 31299426855432745166622610944*y*z - 2377686757494018233550816*w*z + 3446605170675114584652447888*z^2 - 103282799299698896542697872*x - 14637677900740174865814637312*y + 39580222489355068557453178*w + 14709068278828762177628599616*z - 15492948554133859793159818624,
5145412341158770299478474752*y^2*z^3 - 439476399338686207739559936*y^2*w*z + 73838908662840463506432*x*w^2*z - 30260056102738788753408*y*w^2*z + 4497245047403996774400*y^2*z^2 + 1474434519440548368654528*y*w*z^2 + 8684005860200238945792*w^2*z^2 + 43443984930783758242200969216*y*z^3 - 83718160870219757241062016*w*z^3 + 5853539345889740299654010880*z^4 - 71926104256941643610358208*x^3 - 41163341124679494246479167488*y^3 - 27888846950846119327469568*x^2*w + 2749090479229982686885776384*y^2*w - 69477069850304166211584*x*w^2 - 6988869682115163685948416*y*w^2 - 655495989985244847520130848*x^2*z - 52871278543574290108902211584*y^2*z - 39128751445201032586285056*x*w*z + 57983253830915838989766912*y*w*z + 2827376432354163953664*w^2*z + 1529256462888139252474540416*x*z^2 - 10225449830168902284626976768*y*z^2 + 2501795450652196179911047*w*z^2 + 40372719919804857971773665728*z^3 + 459725468474726822208600576*x^2 - 124470977223772460292982603776*y^2 - 19659562434794230860036208*x*w + 2900421062516135236667963904*y*w + 53621501239268943578112*w^2 + 684671314074364962282765584*x*z - 115809784869504282728311323648*y*z + 7759812516313306007564544*w*z - 10440460111294935141086160576*z^2 + 375315573188631140207884400*x - 78193064131563980450441434624*y - 120091046178741573294640910*w - 55243083878378084015769479680*z + 7655968611549915651483041024,
688708434678297919488*y*w^2*z^2 - 8944965676480948523237376*y^2*w*z + 1485165593058922195968*x*w^2*z - 590121059385834055680*y*w^2*z + 9680818127889235968*y^2*z^2 + 40026641999602896136128*y*w*z^2 + 695074686900020686080*w^2*z^2 + 590778670607391591585079296*y*z^3 - 1681863347883692013977856*w*z^3 + 118501683283479956529549312*z^4 - 1664534090087102535045056*x^3 - 787023180372488749056*y^3 - 561205426577576663906304*x^2*w + 49183276056988092523428864*y^2*w + 6512648009729028096*x*w^2 - 141449272666026777211392*y*w^2 - 13320492138626812008766496*x^2*z - 865969438442308379928625152*y^2*z - 823601051641133429007360*x*w*z + 1149626778899098765704192*y*w*z + 74947354604417206272*w^2*z + 31766391010664304108860544*x*z^2 - 207362869635886838694641664*y*z^2 + 64111107381025818344255*w*z^2 + 630699892601685134756982208*z^3 + 9500284879366391863039488*x^2 - 3922278297099728503996416*y^2 - 445789328397031753122800*x*w + 52153228765706143977617664*y*w + 1510254596813490494976*w^2 + 14220380024863660871899024*x*z - 1926469788535062610753268736*y*z + 166377731210260489313280*w*z - 211731149098816383392254272*z^2 + 6383549345599258536487408*x + 840583314747544781322863104*y - 2443926907221488694507646*w - 902406475474825728157260800*z + 894466023280649071796988160,
40198533915302892964675584*y^2*w*z^2 + 22004739018467286494534959104*y^2*w*z - 3640665895709162933305344*x*w^2*z + 1347897157875141135410688*y*w^2*z + 3859063008100687929189335040*y^2*z^2 + 9175660844869703444527872*y*w*z^2 - 1783480688876871828288*w^2*z^2 - 1582602543056543096811268030464*y*z^3 + 4110962876633054737109147232*w*z^3 - 289388464947198320711791569408*z^4 + 3322505663593063691688013888*x^3 + 1163036018458987981701120*y^3 + 1366728726226938480443383296*x^2*w - 131788674876617446856342329344*y^2*w + 6042634065214495180800*x*w^2 + 349716669555950190449539200*y*w^2 + 32703505776929580824394405088*x^2*z + 2123173737420654610180242407424*y^2*z + 2134507673793087936360300288*x*w*z - 2505540898424137016670790464*y*w*z - 288612507391995367893504*w^2*z - 80474588849138367021183241152*x*z^2 + 519007815330329095775815882752*y*z^2 - 89529810488885498717545057*w*z^2 - 1683618457080430236158252305472*z^3 - 22988278244328914001336748800*x^2 + 16782021090322627554657828864*y^2 + 1085893295286656747328072208*x*w - 139187742173219575030338277440*y*w - 334284683194552883173248*w^2 - 37137411463614070437273285104*x*z + 4735025632574786617952423645184*y*z - 209742436031222156494807872*w*z + 525895520747041146200323495968*z^2 - 15555738247813688241603192464*x - 2232360377610572767332130307072*y + 6009904700960746159602719042*w + 2229693999208738258832481731968*z - 2374076463979008825468763414016
]
Algorytm eliminacji#
Algorytm eliminacji potrafi wykrywać relacje algebraiczne między wybranymi zestawami zmiennych.
I.elimination_ideal([x,y,z])
Ideal (9663676416*w^38 + 1855425871872*w^37 + 89060475404288*w^36 - 396210536448*w^35 - 34325359755264*w^34 + 385927172063232*w^33 + 3134223548417*w^32 - 170438761119744*w^31 + 596719033081856*w^30 - 2149032383053688*w^29 + 127271681723876352*w^28 - 1234083606331316224*w^27 - 53917704878869268*w^26 + 847892875767558752*w^25 - 4111656669370310656*w^24 - 204349035070209640*w^23 + 1849686562040001088*w^22 - 9507567726248383488*w^21 + 119860604084932057272*w^20 - 1455409515031007410784*w^19 + 6386810181965473879040*w^18 + 595397132805505676608*w^17 - 4707284474449420899904*w^16 + 14594786823548817692672*w^15 + 955987880912928629536*w^14 - 6897607070531001468224*w^13 + 66862529434364995223552*w^12 - 754142483486697075102784*w^11 + 5194859847036942249280192*w^10 - 14714204250698850589194240*w^9 - 1408477212872278058223012*w^8 + 7577101584569933464177152*w^7 - 17387707087878867366764544*w^6 - 584023636955745992048640*w^5 + 8929111643180367700033536*w^4 - 140857887090651262485528576*w^3 + 1261234810257915555612721152*w^2 - 6095519991810513004356698112*w + 12886482255782279678301044736) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, w, z over Rational Field
ElI=I.elimination_ideal([y,z,w])
ElI.gens()[0].factor()
884736*x^38 - 884736*x^37 + 294912*x^36 - 32768*x^35 + 7962624*x^34 - 5308416*x^33 + 3*x^32 + 589823*x^31 + 31752192*x^30 + 17694720*x^29 - 25952232*x^28 + 5799354*x^27 + 74514551*x^26 + 168001560*x^25 - 80215980*x^24 - 17108367*x^23 + 119869770*x^22 + 451015968*x^21 + 268334848*x^20 - 200647316*x^19 + 121454649*x^18 + 616575888*x^17 + 1032045106*x^16 - 123226767*x^15 - 42924404*x^14 + 468954848*x^13 + 1064510136*x^12 + 1322526074*x^11 - 86855943*x^10 + 188498712*x^9 + 354737076*x^8 - 20687233*x^7 + 8292234*x^6 + 30975168*x^5 - 884112*x^4 - 576*x^3 + 884663*x^2 + 3
R.<x,y>=PolynomialRing(Rationals(),2)
I=R.ideal([x^2+y^2-1,x^2-y^2+3])
I.elimination_ideal([x])
Ideal (y^2 - 2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
Uwikłanie parametryzacji#
Dla ustalonych sparametryzowanych zbiorów możemy zastosować oparty na eliminacji ideałowej algorytm, który będzie produkował relacje pomiędzy jawnymi funkcjami zależnymi od parametru.
#uwiklanie parametryzacji
#x==2*t/(t^2+1)
#y==(t^2-1)/(t^2+1)
R.<x,y,t>=PolynomialRing(Rationals(),3)
eq1=[x*(t^2+1)-2*t,y*(t^2+1)-(t^2-1)]
I=R.ideal(eq1)
I
Ideal (x*t^2 + x - 2*t, y*t^2 - t^2 + y + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, t over Rational Field
I.groebner_basis()
[x^2 + y^2 - 1, x*t - y - 1, y*t + x - t]
ElI=I.elimination_ideal([t])
ElI
Ideal (x^2 + y^2 - 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, t over Rational Field
t=var('t')
parametric_plot((cos(t)+sin(t),2*sin(t)-3*cos(t)^2),(t,0,10*pi))
#uwiklanie parametryzacji
R.<x,y,c,s>=PolynomialRing(Rationals(),4)
eq1=[x-(c+s),y-(2*s-3*c^2),c^2+s^2-1]
I=R.ideal(eq1)
ElI=I.elimination_ideal([c,s]) #eliminacja c i s
ElI
Ideal (9*x^4 + 12*x^3 - 10*x^2 - 8*x*y + 4*y^2 - 36*x + 12*y + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, c, s over Rational Field
F=9*x^4 + 12*x^3 - 10*x^2 - 8*x*y + 4*y^2 - 36*x + 12*y + 1
F.subs(x=cos(t)+sin(t),y=2*sin(t)-3*cos(t)^2).factor()
(45*cos(t)^2 + 36*cos(t)*sin(t) + 9*sin(t)^2 + 36*cos(t) + 12*sin(t) - 1)*(cos(t)^2 + sin(t)^2 - 1)
Osobliwości parametryzacji#
Mając dane uwikłanie funkcji zadanej parametrycznie można stosunkowo prosto przeprowadzić analizę osobliwości. W tym podejściu nie musimy wyznaczać jawnej formuły na parametr.
#osobliwosci krzywej F(x,y)=0
osobeq=[F.derivative(x),F.derivative(y),F]
I2=R.ideal(osobeq)
I2.groebner_basis()
[x + 2/3, y + 13/6]
Poniższy rachunek ilustruje problem ze znalezieniem parametru dla rozwiązania zadanego układu równań.
t=var('t')
solve([cos(t)+sin(t)==-2/3,2*sin(t)-3*cos(t)^2==-13/6],t)
[]