EI0026

eisenstein_product_associate

Actual Eisenstein multiplication is associative on represented integer coordinates.

Alpha v34 checked-use · first admitted v28 · independently kernel and Lean verified; not Stable

Current library: Alpha v34, 4,223 checked-use theorems; Stable remains 432. Historical first admissions, original proof editions, and non-admitted aliases are preserved. Exact original first-admission records.

A floor quotient in the fundamental parallelogram already gives the required strict norm decrease; global nearest-point optimality is not asserted. The shared carrier is identical to the Gaussian carrier, but the multiplication law and norm are different. Eisenstein gcd, factorization, and prime classification remain separate targets.

Exact theorem in conservative defined notation

∀ a. ∀ b. ∀ c. ∀ d. ∀ e. ∀ f. ∀ g. ∀ h. ∀ i. ∀ j. ∀ k. ∀ l. EisensteinCoordinateProduct(a · e + b · f + (c · h + d · g),a · f + b · e + (c · g + d · h),a · g + b · h + (c · e + d · f) + (c · h + d · g),a · h + b · g + (c · f + d · e) + (c · g + d · h),i,j,k,l,a · (e · i + f · j + (g · l + h · k)) + b · (e · j + f · i + (g · k + h · l)) + (c · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l)) + d · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k))),a · (e · j + f · i + (g · k + h · l)) + b · (e · i + f · j + (g · l + h · k)) + (c · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k)) + d · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l))),a · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k)) + b · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l)) + (c · (e · i + f · j + (g · l + h · k)) + d · (e · j + f · i + (g · k + h · l))) + (c · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l)) + d · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k))),a · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l)) + b · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k)) + (c · (e · j + f · i + (g · k + h · l)) + d · (e · i + f · j + (g · l + h · k))) + (c · (e · k + f · l + (g · i + h · j) + (g · l + h · k)) + d · (e · l + f · k + (g · j + h · i) + (g · k + h · l))))

Every linked abbreviation expands hygienically to the identical original native formula.

Definition DAG

EisensteinCoordinateProduct(ap,an,bp,bn,cp,cn,dp,dn,rp,rn,sp,sn) · 1

Actual proof prerequisites

eisenstein_product_associate_realeisenstein_product_associate_imaginary
Original expanded first-order statement 
forall a b c d e f g h i j k l. (((((((((((((((((a) * (e))) + (((b) * (f))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (i))) + (((((((((a) * (f))) + (((b) * (e))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (j))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (l))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (k))))))) + (((((((a) * (((((((e) * (j))) + (((f) * (i))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))) + (((b) * (((((((e) * (i))) + (((f) * (j))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))))) + (((((c) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))) + (((d) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l)))))))))))))) = ((((((((a) * (((((((e) * (i))) + (((f) * (j))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))) + (((b) * (((((((e) * (j))) + (((f) * (i))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))))) + (((((c) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))) + (((d) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))))))) + (((((((((((((a) * (e))) + (((b) * (f))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (j))) + (((((((((a) * (f))) + (((b) * (e))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (i))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (k))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (l))))))))) /\ (((((((((((((((((a) * (e))) + (((b) * (f))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (k))) + (((((((((a) * (f))) + (((b) * (e))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (l))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (i))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (j))))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (l))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (k))))))) + (((((((((a) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))) + (((b) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))))) + (((((c) * (((((((e) * (j))) + (((f) * (i))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))) + (((d) * (((((((e) * (i))) + (((f) * (j))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))))))) + (((((c) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))) + (((d) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l)))))))))))))) = ((((((((((a) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))) + (((b) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))))) + (((((c) * (((((((e) * (i))) + (((f) * (j))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))) + (((d) * (((((((e) * (j))) + (((f) * (i))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))))))) + (((((c) * (((((((((e) * (l))) + (((f) * (k))))) + (((((g) * (j))) + (((h) * (i))))))) + (((((g) * (k))) + (((h) * (l))))))))) + (((d) * (((((((((e) * (k))) + (((f) * (l))))) + (((((g) * (i))) + (((h) * (j))))))) + (((((g) * (l))) + (((h) * (k))))))))))))) + (((((((((((((((a) * (e))) + (((b) * (f))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (l))) + (((((((((a) * (f))) + (((b) * (e))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (k))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (j))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (i))))))) + (((((((((((((a) * (g))) + (((b) * (h))))) + (((((c) * (e))) + (((d) * (f))))))) + (((((c) * (h))) + (((d) * (g))))))) * (k))) + (((((((((((a) * (h))) + (((b) * (g))))) + (((((c) * (f))) + (((d) * (e))))))) + (((((c) * (g))) + (((d) * (h))))))) * (l)))))))))))

Complete tactic proof in conservative notation

All 39 original proof lines are preserved. Only local proposition formulas are abbreviated; every abbreviation has an exact binder-safe expansion check. The linked exact edition contains the unchanged replay script.

Read the argument

Proof checkpoints

39 script commands · 6 reading checkpoints · 0 local claims

This is a reading aid, not a new proof or a proof-tree certificate. Checkpoint groups are consecutive commands, not inferred branch boundaries. Every step links to the preserved script.

Definition notation is shown below. Open the paired exact edition for the original native formulas. Source pairing is not a new equivalence certificate.

Named ingredients (2)
eisenstein product associate realeisenstein product associate imaginary
01Fix variables and assumptionsL1–10

Work with arbitrary variables or the premises of the current implication.

  1. L1
    intro a
  2. L2
    intro b
  3. L3
    intro c
  4. L4
    intro d
  5. L5
    intro e
  6. L6
    intro f
  7. L7
    intro g
  8. L8
    intro h
  9. L9
    intro i
  10. L10
    intro j
02Fix variables and assumptionsL11–12

Work with arbitrary variables or the premises of the current implication.

  1. L11
    intro k
  2. L12
    intro l
03Separate the logical casesL13–13

Follow the explicit conjunction, disjunction, witness, or contradiction step recorded below.

  1. L13
    split
04Use earlier factsL14–23

Instantiate or apply named facts and discharge the corresponding proof obligations.

  1. L14
    specialize eisenstein_product_associate_real a
  2. L15
    specialize eisenstein_product_associate_real b
  3. L16
    specialize eisenstein_product_associate_real c
  4. L17
    specialize eisenstein_product_associate_real d
  5. L18
    specialize eisenstein_product_associate_real e
  6. L19
    specialize eisenstein_product_associate_real f
  7. L20
    specialize eisenstein_product_associate_real g
  8. L21
    specialize eisenstein_product_associate_real h
  9. L22
    specialize eisenstein_product_associate_real i
  10. L23
    specialize eisenstein_product_associate_real j
05Use earlier factsL24–33

Instantiate or apply named facts and discharge the corresponding proof obligations.

  1. L24
    specialize eisenstein_product_associate_real k
  2. L25
    specialize eisenstein_product_associate_real l
  3. L26
    apply eisenstein_product_associate_real
  4. L27
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary a
  5. L28
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary b
  6. L29
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary c
  7. L30
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary d
  8. L31
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary e
  9. L32
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary f
  10. L33
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary g
06Use earlier factsL34–39

Instantiate or apply named facts and discharge the corresponding proof obligations.

  1. L34
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary h
  2. L35
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary i
  3. L36
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary j
  4. L37
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary k
  5. L38
    specialize eisenstein_product_associate_imaginary l
  6. L39
    apply eisenstein_product_associate_imaginary

Library-wide reading audit

Original defined command ledger · 39 lines
  1. 0001intro a
  2. 0002intro b
  3. 0003intro c
  4. 0004intro d
  5. 0005intro e
  6. 0006intro f
  7. 0007intro g
  8. 0008intro h
  9. 0009intro i
  10. 0010intro j
  11. 0011intro k
  12. 0012intro l
  13. 0013split
  14. 0014specialize eisenstein_product_associate_real a
  15. 0015specialize eisenstein_product_associate_real b
  16. 0016specialize eisenstein_product_associate_real c
  17. 0017specialize eisenstein_product_associate_real d
  18. 0018specialize eisenstein_product_associate_real e
  19. 0019specialize eisenstein_product_associate_real f
  20. 0020specialize eisenstein_product_associate_real g
  21. 0021specialize eisenstein_product_associate_real h
  22. 0022specialize eisenstein_product_associate_real i
  23. 0023specialize eisenstein_product_associate_real j
  24. 0024specialize eisenstein_product_associate_real k
  25. 0025specialize eisenstein_product_associate_real l
  26. 0026apply eisenstein_product_associate_real
  27. 0027specialize eisenstein_product_associate_imaginary a
  28. 0028specialize eisenstein_product_associate_imaginary b
  29. 0029specialize eisenstein_product_associate_imaginary c
  30. 0030specialize eisenstein_product_associate_imaginary d
  31. 0031specialize eisenstein_product_associate_imaginary e
  32. 0032specialize eisenstein_product_associate_imaginary f
  33. 0033specialize eisenstein_product_associate_imaginary g
  34. 0034specialize eisenstein_product_associate_imaginary h
  35. 0035specialize eisenstein_product_associate_imaginary i
  36. 0036specialize eisenstein_product_associate_imaginary j
  37. 0037specialize eisenstein_product_associate_imaginary k
  38. 0038specialize eisenstein_product_associate_imaginary l
  39. 0039apply eisenstein_product_associate_imaginary